1. загальна характеристика теми. Темою «Паралельність прямих І площин у просторі» icon

1. загальна характеристика теми. Темою «Паралельність прямих І площин у просторі»

Реклама:



Скачати 392.78 Kb.
Назва1. загальна характеристика теми. Темою «Паралельність прямих І площин у просторі»
Дата конвертації31.05.2013
Розмір392.78 Kb.
ТипДокументи
джерело

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕМИ.

Темою «Паралельність прямих і площин у просторі» розпочинається вивчення курсу стереометрії у 10 класі. Тому основне її призначення — закладення основи для конструювання геометричних тіл, дослідження їхніх властивостей і вимірювання геометричних величин, пов'язаних з ними. Для цього вводяться основні поняття стереометрії (точки, прямі і площини), а також відношення між ними (належність, паралельність та ін.). Проводиться класифікація взаємного розміщення прямих і площин у просторі, вивчаються відповідні ознаки взаємного розміщення.

У процесі вивчення даної теми поглиблюються знання учнів про аксіоматичну побудову математичної теорії, розвиваються їхні просторові уявлення. Вже з перших кроків вивчення стереометрії на перший план виступає ідея математичного моделювання реальних об'єктів і відношень між ними за допомогою найпростіших геометричних фігур і відповідних математичних відношень.

До найважливіших завдань вивчення теми належить розгляд одного з основних методів зображення просторових фігур на площині — методу паралельного проектування і формування найпростіших навичок його застосування.

Таким чином, основними завданнями вивчення теми є:

  • формування в учнів розуміння того, що просторові геометричні фігури є математичними моделями об'єктів навколишнього середовища;

  • розвиток в учнів уявлень про дедуктивний метод;

  • систематизація уявлень та знань учнів про взаємне розміщення прямих і площин у просторі;

  • ознайомлення учнів з методами побудови зображень фігур і виконання на них побудов.

Вивчення теми треба спланувати так, щоб після завершення навчання учні вміли:

  • встановлювати у просторі взаємне розміщення прямих і площин, зокрема паралельність прямих, прямої і площини, двох площин, мимобіжність прямих;

  • будувати зображення фігури і на них виконувати нескладні побудови (елементів фігур, точок перетину прямої і площини, двох площин, перерізів куба, тетраедра та ін.);

  • застосовувати відношення паралельності між прямими і площинами у просторі для опису об'єктів фізичного простору і відношень між ними.

Володіння вказаними видами діяльності виражається вмінням розв'язувати такі завдання:

  1. Щоб надати геодезичним інструментам сталого положення, їх звичайно закріплюють на триногах. Чому?

  2. Траєкторії двох пароплавів — прямі лінії. Відомо, що вони не перетинаються. Чи можна стверджувати, що пароплави йдуть паралельним курсом? Чи є правильним аналогічний висновок щодо літаків?

  3. Доведіть, що прямі, які перетинають пряму а і проходять через точку, що не лежить на прямій а, лежать в одній площині.

  4. Два паралелограми ABCD і ABC1D1 лежать у різних площинах. Точка M є серединою відрізка DD1

  1. Встановіть взаємне розміщення прямих CD і C1 D1; DD1 і АВ.

  2. Встановіть взаємне розміщення прямої C1D1 і площини ABC; прямої D1M і площини ABC.

  3. Побудуйте лінію перетину площин D1C1M і ACD; точку перетину прямої МС1, і площини ABC.

  4. Встановіть взаємне розміщення площин DD1A і СС1В.

  1. Дано куб ABCDA1B1C1D1

  1. Встановіть взаємне розміщення прямої АС з площинами A1B1C1, АA1C1, B B1D1, A1C1D.

  2. Проведіть пряму через середину ребра АD, паралельно площинам АА1В1, і B B1D1.

  3. Побудуйте площину, яка перетинає площини лише чотирьох граней куба.

  4. Побудуйте переріз куба площиною АСВ1 і DCA1.

6. Доведіть, що всі прямі, що проходять через одну точку і паралельні
даній площині, утворюють площину, паралельну даній.


7. Дано площину і відрізок АВ, що не перетинається з нею. Через кінці відрізка А, В проведено паралельні прямі, які перетинають площину відповідно в точках А1 і В1.

  1. Побудуйте точку перетину прямої АВ і площини .

  2. Проведіть через середину С відрізка АВ пряму, паралельну прямій АА1, і знайдіть точку її перетину С1 з площиною.

  3. Знайдіть довжину відрізка СС1, якщо АА1 = З, ВВ1 = 4.

8. Паралелограм АВСD не має спільних точок з даною площиною.
Через точки А, В, С, D проведено паралельні прямі, які перетинають цю площину відповідно в точках А1, В111.

  1. Чим є чотирикутник А1В1С1D1 для паралелограма АВСD?

  2. Побудуйте проекцію центра паралелограма АВСD на площину, якщо пряма АА1 визначає напрям проектування.

9. Зобразіть тетраедр так, щоб:

  1. усі його ребра були видимими;

  2. три його ребра були видимими.

10. Чи може зображенням куба бути фігура на рис. 1?





А) Б) В) Г) Ґ)


11. Побудуйте переріз куба, який є:

  1. рівностороннім трикутником;

  2. рівнобічною трапецією;

  3. п'ятикутником.

  1. Який вигляд має тінь куба, якщо промені паралельні його діагоналі?

  2. Як розміщені дві прямі, якщо їхні проекції на деяку площину збігаються?

  3. Доведіть, що дві мимобіжні прямі визначають єдину пару паралельних площин, що проходять через них.

Загальні методичні рекомендації

Розгляд теми «Паралельність прямих і площин» зводиться, власне, до вивчення взаємного розміщення прямих і площин, зокрема їхньої паралельності.

При вивченні теми особливу увагу слід приділити класифікації взаємного розміщення прямих і площин у просторі. Учні мають зрозуміти, що всі наведені теореми спрямовані насамперед на те, щоб допомогти визначати відповідне розміщення.

Формування просторових уявлень учнів є одним з основних завдань теми. Водночас це одна з найскладніших педагогічних проблем. Тому з перших занять необхідно широко використовувати систему вправ на «відтворення» просторової ситуації за її описом чи рисунком. Важливе місце слід відвести навчанню учнів зображенню геометричних фігур і використанню цих зображень при розв'язуванні задач.

При вивченні даної теми закладається теоретична основа побудови зображень геометричних фігур. Це бажано зробити якомога раніше. Беручи за основу наведені міркування, передбачається вивчення паралельного проектування практично на початку теми.

Рекомендується також активно використовувати при вивченні даної теми найпростіші геометричні тіла (хоча б куб і тетраедр), «забігаючи» трішки наперед. Ці фігури дають змогу розглядати не тільки задачі на уявні побудови, а й побудови на проекційному рисунку, зокрема, побудову точки перетину прямої і площини та лінії перетину двох площин, побудову найпростіших перерізів.

При вивченні аксіом необхідно акцентувати увагу учнів на тому, що в будь-якій площині простору і лише у площині виконується планіметрія, тобто для використання планіметрії, перш за все, необхідно «увійти» в площину. З цієї точки зору дуже важливими є способи задання (фіксації) площини. Ці ж способи важливі також для побудови перерізів.

В умовах явного дефіциту навчального часу рекомендується використовувати на заняттях задачі, у процесі розв'язування яких формуються різні поняття, вміння і навички в межах одних і тих самих геометричних конструкцій.

Такими конструкціями можуть бути:

1) куб і тетраедр;

  1. два трикутники, квадрати, прямокутники, паралелограми, що мають спільну сторону і лежать у різних площинах;

  2. трикутник, квадрат, прямокутник, паралелограм, трапеція, розташовані паралельно до деякої площини, і паралельні відрізки, що з'єднують вершини цих многокутників з точками площини;

  3. правильний трикутник, квадрат, прямокутник, рівнобічна трапеція і точка поза площиною даної фігури, з'єднана з деякими точками фігури.

Останні два види конструкцій дають змогу зробити чудову пропедевтику вивчення таких важливих понять стереометрії, як піраміда, призма.

Особливу увагу необхідно приділити реалізації прикладної спрямованості теми. Головним внеском у вирішення цієї проблеми є формування в учнів чітких уявлень про взаємозв'язки геометричних об'єктів і відношень між ними з об'єктами навколишнього середовища та відношеннями між ними.

У даній темі закладається фундамент побудови стереометрії. Тому важливо з самого початку акцентувати увагу на необхідності обґрунтування кожного кроку міркувань, прискіпливо аналізувати зміст понять, тверджень. Важливим є питання існування і єдиності об'єктів, про які йдеться. Існування чи неєдиність якогось об'єкта доводяться конструктивно. Єдиність чи неіснування доводяться, як правило, від супротивного. Ці загальні положення учні повинні засвоїти під час вивчення теми і застосовувати надалі.

Нижче наводиться орієнтовний план вивчення теми.
^

Тема 3. Паралельність прямих і площин у просторі (22 год.)




Повторення планіметрії. Діагностика готовності до вивчення стереометрії

2



Основні поняття, аксіоми стереометрії і найпростіші наслідки із них.

2



Взаємне розміщення прямих у просторі.

4



Паралельне проектування і його властивості. Зображення фігур у стереометрії.

4



Паралельність прямої і площини.

3



Паралельність площин.

4



Тематичне оцінювання (повторення, систематизація, контролюючі заходи, коригувальна робота)

3


^ Методичні рекомендації до навчальних модулів

  1. Основні поняття, аксіоми стереометрії і найпростіші наслідки із них.

Основні завдання

Оскільки даним навчальним модулем розпочинається вивчення стереометрії у старшій школі, його роль важко переоцінити, незважаючи на дуже стислий час, що відводиться на його опрацювання. Передбачається формування установок на вивчення стереометрії як засобу для моделювання об'єктів навколишнього середовища; розвивання уявлень про аксіоматичний метод як основний і унізерсаль ний метод побудови точних наук, зокрема математичних.

^ Забезпечення готовності до навчання

Готовність до навчання у даному модулі забезпечується:

  • формуванням мети й установок на вивчення стереометрії;

  • проведенням змістовної бесіди про геометрію взагалі та стереометрію зокрема;

  • актуалізацією знань і уявлень учнів про аксіоматичний метод, аксіоматичну побудову планіметрії.

Проведення такої підготовки має здійснюватись у процесі обговорення питань такого типу:

  1. Що вивчає геометрія, яке її відношення до реального світу?

  1. Які реальні фізичні об'єкти і в яких ситуаціях можна моделювати плоскими фігурами, а які — не можна?

  2. Якими прикладами з науки, природознавства, техніки та ін. можна проілюструвати природність «аксіоматичного» підходу для побудови чи опису об'єктів, явищ тощо?

  3. Назвати основні поняття геометрії площини та відношення між ними; Яким реальним об'єктам і відношенням вони відповідають?

Виклад теоретичного матеріалу

Розпочати вивчення стереометрії природно з короткої вступної бесіди про предмет геометрії.

У ході обговорення питань: «Що таке геометрія?», «Що вивчає геометрія?», «Яке відношення має геометрія до реального світу?» — дуже важливо продемонструвати, що людська практика є основним джерелом розвитку геометрії від її зародження і до наших днів. Варто наголосити, що основні геометричні фігури стереометрії є математичними моделями об'єктів навколишнього світу: точка — зірки, сліду від дотику крейди до дошки; пряма — променя світла, натягнутої нитки, краю стола; площина — поверхні води, скла, рівної ділянки Землі та ін.

Потрібно акцентувати увагу учнів на тому, що залежно від мети моделювання один і той самий предмет (фізичне тіло) можна моделювати по-різному.

Дуже важливо ґрунтовно з'ясувати різницю між планіметрією і стереометрією на основі такої тези: «Планіметрія — геометрія площини, стереометрія — геометрія простору». Перехід від планіметрії до стереометрії означає вихід за межі однієї площини, введення ще одного виміру. Хоча суть залишається та сама: вивчення геометричних фігур, їхніх властивостей і відношень між ними та застосування для опису фізичного простору. '

Обговорюючи питання про аксіоматичну побудову цієї теорії, потрібно підвести учнів до висновку про доцільність введення основних (неозначуваних) понять і аксіом, а потім роз'яснити схему побудови стереометрії за аналогією до планіметрії.

За неозначувані поняття стереометрії звичайно вибирають точку, пряму, площину. Цей набір понять є традиційним для підручників стереометрії і вже звичним для учнів, які мають досвід вивчення планіметрії. Хіба що варто наголосити на їхній абстрактності, «нереальності» з позицій фізичних, але на цілком реальній можливості моделювати ними форму предметів чи їхніх частин, відношень між ними.

Хоча вибір системи аксіом не має принципового значення, певну роль при побудові курсу та його засвоєнні вони відіграють. Як правило, різні системи аксіом не впливають на зміст основного матеріалу теми. У підручнику виклад матеріалу не є переобтяженим великою кількістю аксіом стереометрії. Їхній вибір визначався насамперед модельними характеристиками, зручністю при використанні. Більше того, аксіому С4 можна отримати як наслідок інших.

Включення її в систему аксіом дає деякі переваги при вивченні курсу, особливо на ранній стадії. Стереометрії означає вихід за межі однієї площини, введення ще одного виміру. Хоча суть залишається та сама: вивчення геометричних фігур, їхніх властивостей і відношень між ними та застосування для опису фізичного простору.

Слід зазначити, що для побудови стереометрії необхідно передбачити існування точки поза будь-якою площиною, тобто забезпечити «вихід у простір». Важливу роль у системі аксіом відіграє аксіома, яка дає змогу задати, зафіксувати площину: аксіома площини.

Доведення на початку вивчення теми необхідно проводити акуратно, аргументуючи всі кроки, залучаючи учнів до їхнього прогнозування.




Зміст навчального матеріалу

Тип уроку

Основні поняття, аксіоми стереометрії і найпростіші наслідки із них.(2 год.)

1

Вступ. Основні поняття стереометрії. Аксіоми стереометрії.

Засвоєння нових знань.

2

Існування площини, яка проходить через дану пряму й дану точку.

Засвоєння нових знань.

Після повторення зазначеного матеріалу доцільно запропонувати учням тест для діагностики готовності до вивчення теми. Він міститься у підручнику.


Коментарі до розв'язування задач

Охарактеризуємо систему задач до §7.

Номер завдання




118-123

Задачі на доведення з використанням основних понять та аксіом стереометрії.

124-127

Задачі на побудову прямих з заданими площинами.

128-131

Задачі на доведення з використанням теорем про площини.

132, 133

Задачі на побудову перерізів у об’ємних фігурах.

Орієнтовний розподіл задач з §13.

Зміст

Кількість

годин

Дидактичне забезпечення

ФР

СР

ДЗ

Основні поняття, аксіоми стереометрії і найпростіші наслідки із них.

2

118(1), 119(1),120, 124(1,3,5), 125,128,130, 132 (1,5),133 (1,3)

118(2), 121,122,124(2), 126,131,132(2), 133(2)

119(2),123,124(4,6), 127,129,132(3,4), 133(4)

Безумовно, цей розподіл є орієнтовним і залежить від конкретних умов роботи в класі. Задачі, що залишились нерозподіленими, або нереалізованими, можна використати для індивідуальної роботи з учнями.

Організація самостійної роботи

Математичний диктант


В1 C1
С1




B


R•


F

А1 D1
D1



А D

M



Дано куб ABCDA1B1C1D1.

  1. Укажіть точки, які належать площині грані ABCD.

  2. Укажіть точки, які не належать площині грані ABCD.

  3. Укажіть спільні точки площин граней ABCD і DC1C1D1.

  4. Укажіть пряму перетину площин граней ABCD і ВC1C1В1.

  5. Укажіть площину, яка проходить через прямі АВ і В1В.

  6. Укажіть площину, яка не містить прямих АВ і В1В.


2. Взаємне розміщення прямих у просторі.

Основні завдання

Головними завданнями цього навчального модуля є формування:

а) критеріїв, за якими класифікується взаємне розміщення прямих;

б) понять паралельних і мимобіжних прямих;

в) вмінь встановлювати взаємне розміщення прямих;

г) вмінь розв'язувати найпростіші задачі на побудову, зокрема на
побудову точки перетину прямої з площиною.

Знання та вміння, отримані учнями при засвоєнні матеріалу цього навчального модуля, стануть базою для введення поняття зображення у стереометрії.

Забезпечення готовності до навчання

Готовність до навчання забезпечується актуалізацією навчального матеріалу попереднього блоку, а також повторенням і систематизацією відповідного планіметричного матеріалу. Для цього доцільно обговорити такі питання:

1. Наведіть аксіоми стереометрії та їхні фізичні тлумачення.

2. Наведіть приклади ситуацій, коли той самий реальний об'єкт
доцільно моделювати плоскою чи просторовою фігурою.

  1. Як треба розуміти розв'язання задачі на побудову в стереометрії?

  2. Яким чином можна задати площину в просторі?

  3. Як можуть бути розміщені дві прямі на площині?

  4. Які ви знаєте ознаки паралельності двох прямих на площині?

  1. Як на площині через точку поза прямою провести пряму, паралельну даній прямій? Скільки таких прямих можна провести?

  2. Через середину сторони трикутника провели пряму, паралельну іншій стороні трикутника. Що можна сказати про трикутники, які утворилися?

Виклад теоретичного матеріалу

Розгляд теоретичного матеріалу варто почати з питання: «Скільки спільних точок можуть мати дві прямі у просторі?». В результаті його обговорення природно доходимо до класифікації взаємного розміщення прямих за «запасом» спільних точок. Цей спосіб є універсальним. Він застосовується і для класифікації взаємного розміщення прямої та площини і двох площин. При такому підході прямі, що збігаються, не вважаються паралельними.

Однак у результаті такої класифікації не розрізняються паралельні і мимобіжні прямі. Для того, щоб учні усвідомили, що «вихід у простір» тягне за собою збільшення кількості випадків взаємного розміщення двох прямих, доцільно розглянути такі питання:

  1. Що ви можете сказати про траєкторії руху двох кораблів у морі, якщо відомо, що вони не перетинаються?

  2. Чи завжди можна назвати траєкторії руху двох літаків паралельними, якщо відомо, що вони не перетинаються?

Після цього можна ввести термін «мимобіжні прямі» і запропонувати учням виявити фізичні моделі паралельних та мимобіжних прямих на навколишніх предметах і на моделях многогранників. Необхідно, щоб учні усвідомили, в чому принципова різниця між цими взаємними розміщеннями прямих. Допомогти в цьому може нескладний «експеримент» з використанням підручних засобів. Для його проведення вчителю потрібна указка і пряма, накреслена на дошці, а учням — відповідно ручка і пряма, зображена на папері. Розмістивши указку в площині дошки, можна продемонструвати випадки злиття прямих, їхнього перетину і паралельності. Вивівши указку з площини дошки так, щоб тільки один її кінець торкався дошки в точці, яка не належить намальованій прямій, одержимо мимобіжні «прямі».

У ході експерименту необхідно обговорити два питання:

. Чим схожі і чим відрізняються паралельні прямі від прямих, що перетинаються?

  1. Чим схожі і чим відрізняються паралельні і мимобіжні прямі?

Засвоєння класифікації взаємного розміщення прямих доцільно супроводжувати ілюстрацією взаємного розміщення прямих на зображенні куба. Варто наголосити на тому, що фізичні приклади ще не гарантують існування мимобіжних прямих.

Для закріплення ознаки мимобіжності прямих можна запропонувати вправи за готовими рисунками.

Знайдіть мимобіжні ребра: а) тетраедра; б) куба.

Подальші результати цього навчального блоку стосуються паралельності прямих у просторі.



Зміст навчального матеріалу

Тип уроку

Взаємне розміщення прямих у просторі.(4 год.)

1

Паралельні та мимобіжні прямі.

Засвоєння нових знань.

2

Ознака паралельних прямих. Ознака мимобіжних прямих.

Засвоєння нових знань.

3

Єдність площини, яка містить паралельні прямі.

Засвоєння нових знань.

4

Існування і єдність прямої, паралельної даній.

Перетин площин паралельними прямими.

Комбінований урок.


Коментарі до розв'язування задач

Охарактеризуємо систему задач до §8.

Номер завдання




136-138

Задачі на встановлення взаємного розміщення прямих.

139-142

Задачі на побудову прямих з заданими площинами і певними умовами та знаходження довжини відрізка.

143,144

Задачі на визначення взаємного розміщень прямих, побудову прямих за певних умов.

145,146

Задачі на побудову перерізів у об’ємних фігурах.

147,149

Задачі на доведення.

150

Задачі на побудову мимобіжних прямих.


Орієнтовний розподіл задач з §8.

Зміст

Кількість

годин

Дидактичне забезпечення

ФР

СР

ДЗ

Взаємне розміщення прямих у просторі.

4

136(1,3),137(1,2),

138(1), 139,142, 143, 145(1,5), 146(1,4),147, 150

136(2),137(4), 138(2),140,144, 145(2),146(3),149

136(4),137(3), 138(3),141, 145(3,4),146(2), 148

Безумовно, цей розподіл є орієнтовним і залежить від конкретних умов роботи в класі. Задачі, що залишились нерозподіленими, або нереалізованими, можна використати для індивідуальної роботи з учнями.

Організація самостійної роботи

Бліцопитування

Заповніть пропуски в тексті.

1. Яка б не була площина, існують …, які належать цій площині, і точки, які … … їй.

2. Якщо дві різні прямі мають спільну …, то через них можна провести …, і до того ж тільки ... .

3. Через пряму і …, яка не лежить на ній, можна провести ..., і до того ж тільки ... .

4. Якщо дві площини мають спільну …, то вони перетинаються … …, яка … … … .

5. Через три … які не лежать на одній прямій, можна про вести …, і до того ж тільки одну.

6. Якщо дві ... прямої належать …, то вся пряма належить цій ... .

7. Дві прямі в просторі називаються мимобіжними, якщо вони ... в одній площині.

8. Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони ... в одній площині й не ... .

9. Дві прямі, ... третій, ... .

10. Якщо одна з двох прямих ... у площині, а друга ... цю площину в точці, … … першій прямій, то такі дві прямі ... .

11. Через кінці однієї діагоналі прямокутника і її середину можна провести … … … .

12. Через вершини А, В, D1 прямокутного паралелепіпед ABCDA1B1C1D1 можна провести … … .

Групи заповнюють текст із пропусками протягом ^ 6-7 хвилин Потім учитель відкриває правильні відповіді (одна правильна від повідь — 1 бал); підраховується кількість набраних кожною групо: балів. Помилки виправляються й аналізуються.

^ Паралельне проектування і його властивості.

Зображення фігур у стереометрії.

Основні завдання

Головними завданнями цього навчального модуля є ознайомлення учнів з основним методом побудови зображень у стереометрії і формування вмінь його застосовувати до побудови зображень найпростіших плоских і просторових фігур, виконання нескладних побудов на їхніх зображеннях (елементів фігур, найпростіших перерізів). Водночас є нагода ознайомитись з означенням і основними властивостями одного з найважливіших понять у стереометрії — паралельного проектування, на яких базується поняття зображення та правила його побудови.

Знання та вміння, отримані учнями при засвоєнні матеріалу навчального модуля, складають основу для формування навичок побудови зображень геометричних тіл, виконання побудов на їхніх зображеннях.

Забезпечення готовності до навчання

Для засвоєння матеріалу блоку доцільно повторити такі питання з планіметрії, як паралельне (ортогональне) проектування на площині, подібність фігур, а також актуалізувати вже вивчений матеріал зі стереометрії.

Особливу увагу при підготовці учнів до вивчення нового матеріалу слід акцентувати на повторенні поняття подібності фігур. Крім цього, актуалізація попереднього базового навчального матеріалу може бути проведена при обговоренні таких питань:

1. Скільки існує прямих у просторі, які проходять через дану точку і паралельні даній прямій?

2. Чи може пряма, паралельна іншій прямій, що перетинає площину:

а) не мати спільних точок з цією площиною;

б) лежати в цій площині?

3. Чи правильно, що всі прямі, які перетинають дану пряму і паралельні між собою:

а) лежать в одній площині;

б) утворюють площину?
Наведіть фізичні моделі цієї ситуації.

4. Що являє собою перетин всіх прямих, які проходять через точки бічної сторони трапеції паралельно її основам, з прямою, що проходить через іншу бічну сторону?

Виклад теоретичного матеріалу

При розгляді вказаних навчальних питань дуже важливо правильно розставити акценти. Тут слід брати за основу те, що паралельне проектування — інструмент для побудови зображень, а наша мета — навчити зображати геометричні фігури в просторі. Тому головну увагу слід зосередити не на доведенні властивостей паралельного проектування, а на використанні цих властивостей для побудови зображень.

Рекомендується розглянути означення паралельної проекції точки, фігури, паралельного проектування, поняття площини проекцій, напряму проектування, використовуючи моделі, наочні засоби, зокрема «пластилінову» площину, спиці тощо. Учні мають усвідомити довільність вибору напряму проектування та площини проекцій.

Розгляд властивостей паралельного проектування необхідно певним чином мотивувати. Дуже зручно демонструвати відповідні властивості, використовуючи проекційну апаратуру. Наприклад, тінь від натягнутої нитки є фізичною моделлю проекції прямої.

Доведення властивості «паралельною проекцією прямої є пряма» зводиться до обґрунтування того, що паралельною проекцією прямої є лінія перетину площини проекцій і площини, утвореної проектуючими прямими, що перетинають дану пряму.

Перед розглядом властивості про проекції паралельних прямих можна задати учням такі запитання: «Чи можуть тіні від дротів ліній електропередач збігатися? Перетинатися?». Доцільно також звернути увагу учнів на те, що в центральній проекції відповідна властивість не справджується. З цим пов'язані наші зорові ілюзії: залізничні колії збігаються.

Перед розглядом властивості про відношення довжин двох паралельних відрізків при паралельному проектуванні доцільно докладно обговорити таке питання: «Чи зберігаються довжини відрізків при паралельному проектуванні?». Доведення цієї властивості також зводиться до розгляду двох випадків.

Ефективним засобом закріплення розглянутих властивостей є обґрунтування низки тверджень про проекції найпростіших плоских фігур: кута, трикутника, паралелограма, трапеції, інших многокутників, їхній розгляд також є підготовкою до вивчення питань про зображення фігур у стереометрії.

Вивчення питань про зображення фігур у стереометрії доцільно розпочати з обговорення питань про роль рисунків у геометрії і про вимоги, які ставляться до них, а саме:

1) зображення має бути правильним, тобто задовольняти певні правила;

2) зображення має бути наочним;

3) зображення має бути простим для виконання.





Зміст навчального матеріалу

Тип уроку

Паралельне проектування і його властивості. Зображення фігур у стереометрії.(4 год.)

1

Паралельне проектування і його властивості.

Засвоєння нових знань.

2

Паралельне проектування і його властивості.

Узагальнення й систематизація знань, умінь і навичок

3

Зображення фігур у стереометрії.

Засвоєння нових знань.

4

Зображення фігур у стереометрії.

Комбінований урок.


Коментарі до розв'язування задач

Охарактеризуємо систему задач до §9.

Номер завдання




154-158

Задачі на побудову проекцій плоских фігур.

159-161

Задачі на побудову точок перетину прямої з площиною та знаходження довжини відрізка.

162

Задачі на визначення форми чотирикутника, побудову проекції плоских фігур на площину.

163-165

Задачі на побудову перетину прямої та площини об’ємної фігури.

166,167

Задачі на побудову сліду площин.

168-171

Задачі на побудову проекції многокутників на площину.


Орієнтовний розподіл задач з §10.

Зміст

Кількість

годин

Дидактичне забезпечення

ФР

СР

ДЗ

Паралельне проектування і його властивості.

2

154,156,160, 162,163,166,

168,171

157,159,164, 167,169

155,158,161, 165, 170


Коментарі до розв'язування задач

Охарактеризуємо систему задач до §10.

Номер завдання




174-178,

181-183

Задачі на побудову заданих елементів на заданій плоскій фігурі.

179,180

Задачі на побудову плоских фігур з певними умовами і добудову на них заданих елементів.

184,185

Задачі на побудову заданих елементів на заданій об’ємній фігурі.

186,187

Задачі на побудову перетину об’ємної фігури площиною і певними умовами.


Орієнтовний розподіл задач з §10.

Зміст

Кількість

годин

Дидактичне забезпечення

ФР

СР

ДЗ

Зображення фігур у стереометрії.

2

175,177,180,

181,184,187

176,179,182,

186(1,3)

174,178,183,

185,186(2,4)


Безумовно, цей розподіл є орієнтовним і залежить від конкретних умов роботи в класі. Задачі, що залишились нерозподіленими, або нереалізованими, можна використати для індивідуальної роботи з учнями.

Організація самостійної роботи

Графічний диктант

Чи може паралельна проекція паралелограма бути:

  1. квадратом;

  2. трапецією;

  3. чотирикутником зі сторонами 4 см, 5 см, 6 см і 7 см;

  4. чотирикутником із кутами 30°, 150°, 30°, 150°?

Трикутник А'В'С' — паралельна проекція трикутника АВС. Чи правильно, що:

  1. висоти трикутника А'В'С' — проекції висот трикутника АВС;

  2. медіани трикутника А'В'С' є проекціями медіан трикутника АВС?

  1. Паралельність прямої і площини.
    Паралельність площин.

Основні завдання

Головними завданнями цього навчального модуля є:

  • систематизація уявлень учнів про взаємне розміщення прямої і площини, двох площин;

  • формування понять паралельності прямої та площини, паралельності двох площин;

  • формування вмінь встановлювати взаємне розміщення прямих і площин;

  • розвивання навичок побудови просторових фігур та їхніх зображень;

  • застосування стереометричних понять і фактів до моделювання просторових форм та відношень навколишнього середовища.

Знання та вміння, набуті учнями при засвоєнні матеріалу цього навчального модуля, широко використовуються при подальшому вивченні відношень між прямими і площинами у просторі, а також при побудові та вивченні складніших геометричних фігур. Крім цього, вони мають неабияке прикладне значення у різних сферах діяльності людини.

Забезпечення готовності до навчання

Базовим для засвоєння основних понять і результатів цього навчального модуля є поняття паралельності прямих у прості. На ньому ґрунтуються ознаки паралельності прямої і площини, двох площин, а також доведення більшості фактів, які наводяться у підручниках. Тому доцільно згадати означення й основні властивості відношення паралельності прямих у просторі. Заслуговують на обговорення такі питання, які стосуються означення і властивостей паралельності прямих:

  1. Чи правильно, що прямі простору паралельні, якщо вони не мають спільних точок?

  2. Чи завжди у площині можна знайти пряму, паралельну деякій прямій?

  3. Нехай площини і перетинаються по прямій а. Де лежить точка перетину прямої b, що лежить у , з площиною (якщо вона існує)?

4. В якому разі дві прямі визначають площину?

5.Скільки прямих, що не мають спільних точок з прямою а, можна провести через точку А, яка лежить поза прямою а? А скільки злих паралельні прямій а?

Виклад теоретичного матеріалу

Розгляд взаємного розміщення прямих у просторі за вказаною вище схемою дає змогу вивчати взаємне розміщення прямої і площини, двох площин на основі аналізу «запасу» спільних точок цих фігур. При цьому можливий як «лінійний» варіант вивчення спочатку всього матеріалу про взаємне розміщення прямої і площини, а потім — про взаємне розміщення двох площин, так і «змішаний»: паралельне вивчення і взаємного розміщення прямої та площини, і взаємного розміщення двох площин на основі аналогій та відмінностей.

Обговорення питання про взаємне розміщення прямої і площини слід розпочати зі звернення до наочних уявлень учнів про взаємне розміщення прямих і площин. Вони в змозі дати відповідь на таке запитання: «Як можуть бути розміщені пряма і площина?», спираючись на власний досвід та інтуїцію.

Відразу варто звернути увагу, що з означення ще не випливає існування прямої, паралельної даній площині. Цей факт потребує обґрунтування.

Виявити умови, які забезпечують паралельність прямої і площини (відкрити ознаку паралельності) допоможуть задачі на побудову точки перетину прямої з площиною. Якщо цим задачам із самого початку не приділити достатньо уваги, то при розв'язуванні задач на перерізи многогранників учні матимуть певні труднощі.




Зміст навчального матеріалу

Тип уроку

Паралельність прямої і площини. Паралельність площин.( 3 год.)

1

Взаємне розміщення прямої і площини в просторі. Ознака паралельності прямої і площини.

Засвоєння нових знань.

2

Паралельність прямої і площини.

Формування вмінь і відпрацьовування навичок.

3

Паралельність прямої і площини.

Комбінований.






Зміст навчального матеріалу

Тип уроку

Паралельність площин.( 4 год.)

1

Взаємне розміщення двох площин у просторі. Паралельні площини.Ознака паралельності площин.

Засвоєння нових знань.

2

Паралельні площини. Властивості паралельних прямих.

Засвоєння нових знань.

3

Паралельні площини. Властивості паралельних прямих.

Узагальнення й систематизація знань, умінь і навичок

4

Паралельність площин.

Комбінований.



Коментарі до розв'язування задач

Охарактеризуємо систему задач до §11.

Номер завдання




190-195

Задачі на визначення взаємного розміщення прямих і площин, побудову точки перетину прямої з площиною, обчислення довжини відрізка.

196-198

Задачі на доведення паралельності, перетин площин.

199-204

Задачі на побудову,

Орієнтовний розподіл задач з §10.

Зміст

Кількість

годин

Дидактичне забезпечення

ФР

СР

ДЗ

Паралельність прямої і площини.

3

190,193,198,199, 203

191,195,197,201, 202

192,194,196,200, 204


Коментарі до розв'язування задач

Охарактеризуємо систему задач до §12.

Номер завдання




207-211

Задачі на визначення взаємного розміщення площин, побудову перетину площини і прямої, знаходження площі перерізу.

212-215

Задачі на побудову перетину площин і прямої, доведення.

218-223

Задачі на доведення.

224-227

Задачі на знаходження геометричного місця точок, взаємного розміщення прямих.


Орієнтовний розподіл задач з §12.

Зміст

Кількість

годин

Дидактичне забезпечення

ФР

СР

ДЗ

Паралельність площин.

4

207,211,213,215, 218,223,224,226

209,210,214,217, 219,221,227

208,212,216,220, 222,225


Безумовно, цей розподіл є орієнтовним і залежить від конкретних умов роботи в класі. Задачі, що залишились нерозподіленими, або нереалізованими, можна використати для індивідуальної роботи з учнями.


Організація самостійної роботи

Варіант 1

У завданнях 1-3 зазначте правильну відповідь.

  1. Дано куб МNKLМ1N1K1L1 (рис. 1). Укажіть площину, паралельну площині МКN1.

А МКN1 Б М1К1L В М1К1N Г NLN1

  1. Дві сторони трикутника паралельні площині. Як розміщена відносно площини медіана трикутника, яка проходить між цими сторонами?

^ А Має з спільну точку Б Лежить у площині

В Паралельна площині Г Інша відповідь

  1. Паралельні площини і перетинають сторони кута ^ В у точках А1С1 і , С2 відповідно (рис 2). Знайдіть довжину відрізка ВС2, якщо ВА1: А1А2, =1:3 і ВС1 =3 см.

А 3 см Б 6 см В 4 см Г 12 см

  1. Дано дві паралельні площини і . Точки А і В лежать у площині, точки СіD — у площині . Відрізки АD і ВС перетинаються в точці М. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо СD = 4 см, ВМ: СМ = 2:1.

  2. Площини і паралельні. Доведіть, що для будь-якої прямої а, яка належить площині , існує мимобіжна з нею пряма b, яка належить площині .

Варіант 2

У завданнях 1-3 зазначте правильну відповідь.

  1. Дано куб МNKLМ1N1K1L1 (рис. 1). Укажіть площину, паралельну площині МКL1.

А МnК Б М1К1n В МКN1 Г NLN1

  1. Дві сторони трикутника паралельні площині . Як розміщена відносно площини бісектриса трикутника, яка проходить між цими сторонами?

А Лежить у площині Б Паралельна площині

^ В Перетинає площину Г Інша відповідь

  1. Паралельні площини і перетинають сторони кута В
    у точках А1С1 і А2С2 відповідно (рис. 2). Знайдіть довжину відрізка ВС2, якщо А1С12С2 = 1:5 і ВС2=2 см.

А 4 см Б 24 см В 10 см Г 8 см

  1. Дано дві паралельні площини і . Точки ^ А і В лежать у площині , точки С і D — у площині . Відрізки АD і ВС перетинаються в точці М. Знайдіть довжину відрізка СD, якщо АВ = 16 см, АМ: МD = 2:1.

  2. Площини і паралельні. Доведіть, що для будь-якої прямої а, яка належить площині , існує паралельна до неї пряма b, яка належить площині.

Робота проводиться протягом 15-20 хв. Після закінчення роботи учні одержують копії відповідей та розв'язань і проводять самоперевірку й оцінювання своєї роботи.



Рис. 1 Рис.2

Відповіді до завдань самостійної роботи

Варіант 1. 1. Б. 2. В. 3. Г. 4.8 см.

Варіант 2. 1. В. 2. Б. 3. В. 4.8 см.

Додати документ в свій блог або на сайт


Реклама:

Схожі:

1. загальна характеристика теми. Темою «Паралельність прямих І площин у просторі» iconУрок з біології в 8 класі
Загальна характеристика та різноманітність багатоклітинних тварин. Тип Губки. Загальна характеристика, роль у природі та значення...

1. загальна характеристика теми. Темою «Паралельність прямих І площин у просторі» iconЗагальна характеристика державної влади Мета уроку
Органи державної влади. Загальна характеристика органів законодавчої, виконавчої та судової влади

1. загальна характеристика теми. Темою «Паралельність прямих І площин у просторі» iconУрок біології 8 клас "Загальна характеристика класу ракоподібні. Лабораторна робота №5 "
Урок біології 8 клас "Загальна характеристика класу ракоподібні. Лабораторна робота №5 "Визначення ознак пристосованості у зовнішній...

1. загальна характеристика теми. Темою «Паралельність прямих І площин у просторі» icon1 Функції, їхні властивості і графіки 1 Загальна характеристика теми
Головною її метою є підготовка учнів до вивчення нових класів функцій (тригонометричних, показникових, логарифмічних), а також мотивація...

1. загальна характеристика теми. Темою «Паралельність прямих І площин у просторі» iconТема «Загальна характеристика провідних шляхів розвитку поезії середини – другої половини XIX ст. Етичні та естетичні засади соціально спрямованої лірики (М.
Тема загальна характеристика провідних шляхів розвитку поезії середини – другої половини XIX ст

1. загальна характеристика теми. Темою «Паралельність прямих І площин у просторі» iconМетодична розробка уроку географії в 10 класі (рівень стандарту)
Тема: Країни Європи. Загальна характеристика регіону, його склад. Населення, міста. Характеристика господарства країн та значення...

1. загальна характеристика теми. Темою «Паралельність прямих І площин у просторі» iconТема. Загальна характеристика покритонасінних

1. загальна характеристика теми. Темою «Паралельність прямих І площин у просторі» iconВзаємне розташування прямих на площині Виконала Марченко Ірина Миколаївна
Які ви знаєте ознаки та властивості кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною?

1. загальна характеристика теми. Темою «Паралельність прямих І площин у просторі» icon14465 Загальна характеристика кисню 7 клас

1. загальна характеристика теми. Темою «Паралельність прямих І площин у просторі» iconЗагальна характеристика класу Плазуни Матеріали до уроку

Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©lib.znaimo.com.ua 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи